اقلیدس کیست؟

اقلیدس، یوکلیدس یونانی برجسته ترین ریاضیدان دوران باستان یونانی-رومی، که بیشتر برای رساله خود در هندسه، عناصر شناخته شده است. برای خواندن ادامه مقاله با مجله علمی آندرومدامگ همراه باشید.

زندگی

از زندگی اقلیدس چیزی جز آنچه فیلسوف یونانی پروکلوس (حدود 410-485 پس از میلاد) در «خلاصه» ریاضیدانان مشهور یونانی گزارش می‌کند، معلوم نیست. به گفته وی، اقلیدس در زمان بطلمیوس اول سوتر که از 323 تا 285 پیش از میلاد بر مصر سلطنت می کرد، در اسکندریه تدریس می کرد. مترجمان و ویراستاران قرون وسطی اغلب او را با فیلسوف اوکلیدس مگارا، معاصر افلاطون در حدود یک قرن قبل اشتباه می گرفتند و به همین دلیل او را مگارنسیس می نامیدند. پروکلوس تاریخ خود را برای اقلیدس با نوشتن این جمله تأیید کرد: «بطلمیوس یک بار از اقلیدس پرسید که آیا راه کوتاه‌تری برای هندسه نسبت به عناصر وجود ندارد، و اقلیدس پاسخ داد که هیچ جاده خاصی برای هندسه وجود ندارد. امروزه تعداد کمی از مورخان این اجماع را به چالش می کشند که اقلیدس مسن تر از ارشمیدس (حدود 290-212/211 پ.م.) بوده است.

منابع و محتویات عناصر

اقلیدس عناصر خود را از تعدادی از آثار مردان پیشین گردآوری کرد. از جمله بقراط خیوس (حدود 440 پ. آخرین گردآورنده قبل از اقلیدس تئودیوس بود که کتاب درسی او در فرهنگستان مورد استفاده قرار گرفت و احتمالاً همان کتابی بود که ارسطو (384–322 ق.م) از آن استفاده کرد. عناصر قدیمی‌تر به یکباره توسط اقلیدس جایگزین شدند و سپس فراموش شدند. اقلیدس برای موضوع خود بدون شک از تمام پیشینیان خود استفاده کرد، اما واضح است که کل طرح کار او متعلق به او بود، که در ساختن پنج جامد منظم، که اکنون به عنوان جامدات افلاطونی شناخته می شوند، به اوج خود رسید.

بررسی مختصری از عناصر، این باور رایج را که فقط به هندسه مربوط می شود، رد می کند. این تصور غلط ممکن است ناشی از خواندن کتاب های اول تا چهارم باشد که هندسه سطح ابتدایی را پوشش می دهد. اقلیدس فهمید که ساختن یک هندسه منطقی و دقیق (و ریاضیات) به شالوده بستگی دارد – پایه ای که اقلیدس در کتاب اول با 23 تعریف آغاز کرد (مانند “نقطه چیزی است که جزء ندارد” و “یک خط طولی است بدون آن”. وسعت»)، پنج فرض اثبات نشده که اقلیدس آن‌ها را فرض‌ها (که اکنون به عنوان بدیهیات شناخته می‌شوند) و پنج فرض اثبات‌نشده دیگر که او آن‌ها را مفاهیم رایج نامید. (به جدول 10 فرض اولیه اقلیدس مراجعه کنید.) کتاب I سپس قضایای ابتدایی را در مورد مثلث ها و متوازی الاضلاع اثبات می کند و با قضیه فیثاغورث به پایان می رسد. (برای اثبات قضیه توسط اقلیدس، به نوار کناری: اثبات آسیاب بادی اقلیدس مراجعه کنید.)

موضوع کتاب دوم جبر هندسی نامیده شده است زیرا هویت های جبری را به صورت قضایایی در مورد اشکال هندسی معادل بیان می کند. کتاب دوم شامل ساخت «بخش» است، یعنی تقسیم یک خط به دو قسمت به طوری که نسبت قطعه بزرگتر به کوچکتر برابر با نسبت خط اصلی به قطعه بزرگتر باشد. (این تقسیم در رنسانس پس از اینکه هنرمندان و معماران نسبت های دلپذیر آن را دوباره کشف کردند، به بخش طلایی تغییر نام داد.) کتاب دوم نیز قضیه فیثاغورث را به مثلث های دلخواه تعمیم می دهد، نتیجه ای که معادل قانون کسینوس ها است (به مثلثات صفحه مراجعه کنید). کتاب سوم به ویژگی‌های دایره‌ها می‌پردازد و کتاب چهارم با ساخت چندضلعی‌های منظم، به‌ویژه پنج ضلعی را شامل می شود.

کتاب پنجم از هندسه صفحه تغییر می کند تا یک نظریه کلی از نسبت ها و نسبت ها را توضیح دهد که توسط پروکلوس (همراه با کتاب دوازدهم) به یودکسوس کنیدوس (حدود 395/390-342/337 ق.م) نسبت داده شده است. در حالی که کتاب پنجم را می توان مستقل از بقیه عناصر خواند، راه حل آن برای مسئله غیرقابل قیاس (اعداد غیر منطقی) برای کتاب های بعدی ضروری است. علاوه بر این، پایه و اساس یک نظریه هندسی اعداد را تشکیل داد تا اینکه یک نظریه تحلیلی در اواخر قرن نوزدهم توسعه یافت. کتاب ششم این تئوری نسبت‌ها را در هندسه صفحه، عمدتاً مثلث‌ها و متوازی الاضلاع، به کار می‌برد، که به «کاربرد مساحت‌ها» ختم می‌شود، روشی برای حل مسائل درجه دوم با ابزارهای هندسی را شامل می شود.

کتاب‌های VII تا IX حاوی عناصری از نظریه اعداد هستند، که در آن عدد (arithmos) به معنای اعداد صحیح مثبت بزرگ‌تر از 1 است. با شروع با 22 تعریف جدید – مانند وحدت، زوج، فرد و اول – این کتاب‌ها ویژگی‌های مختلفی از اعداد صحیح مثبت را توسعه می‌دهند. به عنوان مثال، کتاب هفتم روشی را توصیف می کند، آنتانارزیس (که اکنون به عنوان الگوریتم اقلیدسی شناخته می شود)، برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو یا چند عدد. کتاب هشتم اعداد را با نسبت‌های پیوسته بررسی می‌کند که اکنون به عنوان دنباله‌های هندسی شناخته می‌شوند (مانند تبر، ax2، ax3، ax4…). و کتاب نهم ثابت می کند که بی نهایت عدد اول وجود دارد.

به گفته پروکلوس، کتاب های X و XIII آثار فیثاغورثی تئاتتوس (حدود 417-369 پ.م.) را در بر می گیرد. کتاب X، که تقریباً یک چهارم عناصر را شامل می‌شود، با اهمیت طبقه‌بندی آن از خطوط و نواحی غیرقابل قیاس نامتناسبی به نظر می‌رسد (اگرچه مطالعه این کتاب الهام‌بخش یوهانس کپلر [1571-1630] در جستجوی یک مدل کیهان‌شناختی خواهد بود).

کتاب های XI-XIII به بررسی چهره های سه بعدی در استریومتری یونانی می پردازند. کتاب یازدهم به تقاطع صفحات، خطوط و متوازی الاضلاع (جامدات با متوازی الاضلاع به عنوان وجوه متضاد) مربوط می شود. کتاب دوازدهم روش اگزوز ادوکسوس را به کار می‌برد تا ثابت کند که مساحت دایره‌ها نسبت به یکدیگر به‌عنوان مربع قطرشان و حجم کره‌ها به‌عنوان مکعب‌های قطرشان نسبت به یکدیگر است. کتاب سیزدهم با ساختن پنج جامد منظم افلاطونی (هرم، مکعب، هشت وجهی، دوازده وجهی، ایکو وجهی) در یک کره مشخص، همانطور که در انیمیشن نشان داده شده است، به اوج خود می رسد.

ناهمواری چندین کتاب و سطوح مختلف ریاضی ممکن است این تصور را ایجاد کند که اقلیدس فقط یک ویراستار رساله هایی است که توسط ریاضیدانان دیگر نوشته شده است. تا حدودی این مطمئناً درست است، اگرچه احتمالاً نمی توان فهمید که کدام بخش متعلق به او و کدام اقتباس از پیشینیان او است. معاصران اقلیدس کار او را نهایی و معتبر می دانستند. اگر قرار بود بیشتر گفته شود، باید به عنوان تفسیر عناصر باشد.

بازنویسی عناصر اقلیدس

در دوران باستان، تفسیرها توسط هرون اسکندریه (شکوفایی 62 پس از میلاد)، پاپوس اسکندریه (شکوفایی در حدود 320 پس از میلاد)، پروکلوس و سیمپلیسیوس کیلیکیه (شکوفایی در حدود 530 پس از میلاد) نوشته شده است. پدر هیپاتیا، تئون اسکندریه (حدود 335–405 پس از میلاد)، عناصر را با تغییرات متنی و برخی اضافات ویرایش کرد. نسخه او به سرعت سایر نسخه ها را از وجود خارج کرد و تا سال 1808، زمانی که نسخه قبلی در واتیکان کشف شد، منبع یونانی برای تمام ترجمه های عربی و لاتین بعدی باقی ماند.

تأثیر بسیار زیاد عناصر بر ریاضیات اسلامی از طریق ترجمه های فراوان به عربی از قرن نهم به بعد قابل مشاهده است، که سه مورد از آنها را باید ذکر کرد: دو مورد توسط حجاج بن یوسف بن مطر، ابتدا برای هارون الرشید خلیفه عباسی. حکومت ۷۸۶–۸۰۹) و بار دیگر برای خلیفه مأمون (حکومت ۸۱۳–۸۳۳). و سومی توسط اسحاق بن حنین (متوفی 910)، پسر حنین بن اسحاق (808-873) که توسط ثابت بن قره (حدود 836-901) و مجدداً توسط نثیرالدین 10-20 تجدید نظر شده است. 74). اقلیدس ابتدا در اروپا از طریق ترجمه لاتین این نسخه ها شناخته شد.

اولین ترجمه لاتین موجود از عناصر در حدود سال 1120 توسط آدلارد از باث انجام شد که نسخه ای از نسخه عربی آن را در اسپانیا به دست آورد و در حالی که به عنوان یک دانشجوی مسلمان مبدل شده بود به آنجا سفر کرد. آدلارد همچنین یک نسخه خلاصه شده و یک نسخه با تفسیر نوشت، بنابراین یک سنت اقلیدسی با بیشترین اهمیت تا زمانی که رنسانس دست نوشته های یونانی را کشف کرد، آغاز کرد. بی‌تردید بهترین ترجمه لاتین از عربی توسط جرارد کرمونایی (حدود 1114-1187) از نسخه‌های اسحاق ثابت انجام شد.

اولین ترجمه مستقیم از یونانی بدون واسطه عربی توسط بارتولومئو زامبرتی انجام شد و در سال 1505 در وین به زبان لاتین منتشر شد و editio princeps متن یونانی در سال 1533 توسط سیمون گرینائوس در بازل منتشر شد. اولین ترجمه انگلیسی عناصر توسط سر هنری بیلینگزلی در سال 1570 انجام شد. تأثیر این فعالیت بر ریاضیات اروپایی قابل اغراق نیست. ایده‌ها و روش‌های کپلر، پیر دو فرما (1601-1601)، رنه دکارت (1596-1650)، و اسحاق نیوتن (1642 [سبک قدیم]-1727) عمیقاً ریشه در عناصر اقلیدس داشت و بدون آن غیرقابل تصور بود.

نوشته های دیگر

پیکره اقلیدسی به دو گروه تقسیم می شود: هندسه ابتدایی و ریاضیات عمومی. اگرچه بسیاری از نوشته‌های اقلیدس در قرون وسطی به عربی ترجمه شد، آثار هر دو گروه ناپدید شدند. در گروه اول، داده ها (از اولین کلمه یونانی کتاب، ددومن [«داده شده»] موجود است)، مجموعه ای متفاوت از 94 گزاره هندسی پیشرفته که همگی به شکل زیر هستند: با توجه به برخی از موارد یا ویژگی ها، سپس موارد دیگر. یا خواص نیز «داده شده» هستند – یعنی می توان آنها را تعیین کرد. برخی از گزاره‌ها را می‌توان به‌عنوان تمرین‌های هندسه برای تعیین اینکه آیا یک شکل با ابزار اقلیدسی قابل ساخت است یا خیر، در نظر گرفت. درباره تقسیمات (شکل‌ها) – که در سال 1915 از نسخه‌های عربی و لاتین موجود بازسازی و ویرایش شده است – به مشکلات تقسیم یک شکل معین بر یک یا چند خط مستقیم به نسبت‌های مختلف به یکدیگر یا مناطق دیگر می‌پردازد.

چهار اثر گمشده در هندسه در منابع یونانی شرح داده شده و به اقلیدس نسبت داده شده است. پروکلوس می‌گوید که هدف از Pseudaria («اشتباهات») این بود که مبتدیان را از انواع مختلفی از مغالطات که ممکن است در استدلال هندسی مستعد آن باشند، متمایز و هشدار دهد. به گفته پاپوس، Porisms («پیامدها»)، در سه کتاب، شامل 171 گزاره است. میشل چاسلز (1793-1880) حدس زد که این کار حاوی گزاره‌هایی است که به نظریه مدرن عرضی و هندسه تصویری تعلق دارند. مانند سرنوشت «عناصر» قبلی، مخروط‌های اقلیدس در چهار کتاب، جای خود را به کتاب کامل‌تری درباره بخش‌های مخروطی با همین عنوان نوشته آپولونیوس پرگا (حدود ۲۶۲–۱۹۰ ق.م) داد. پاپوس همچنین مکان‌های سطحی را (در دو کتاب) ذکر کرده است که موضوع آن را فقط از عنوان آن می‌توان استنباط کرد.

از آثار باقی مانده اقلیدس می توان به اپتیک، اولین رساله یونانی در مورد چشم انداز، و پدیدارها، مقدمه ای بر نجوم ریاضی اشاره کرد. این آثار بخشی از مجموعه ای به نام “نجوم کوچک” هستند که همچنین شامل کره متحرک اثر Autolycus of Pitane است.

دو رساله در مورد موسیقی، «تقسیم مقیاس» (یک نظریه اساساً فیثاغورثی موسیقی) و «مقدمه ای بر هارمونی»، زمانی به اشتباه تصور می شد که از عناصر موسیقی، اثر گمشده ای است که توسط پروکلوس به اقلیدس نسبت داده شده است.

میراث

عناصر تقریباً از زمان نگارش آن تأثیر مستمر و عمده ای بر امور بشری داشتند. حداقل تا زمان ظهور هندسه نااقلیدسی در قرن نوزدهم، این منبع اصلی استدلال هندسی، قضایا و روش‌ها بود. گاه گفته می شود که غیر از کتاب مقدس، کتاب عناصر بیشترین ترجمه، چاپ و مطالعه را در بین تمام کتاب های تولید شده در جهان غرب دارد. اقلیدس ممکن است ریاضیدان درجه یک نبوده باشد، اما معیاری را برای استدلال قیاسی و آموزش هندسی تعیین کرد که عملاً بدون تغییر، برای بیش از 2000 سال ادامه داشت.